对浮点数的一些理解
前言
相比int等整型，float等浮点类型的表示和存储较为复杂，但它又是一个无法回避的话题，那么就有必要对浮点一探究竟了。在计算机中，一般用IEEE浮点近似表示任意一个实数，那么它实际上又是如何表示的呢？
IEEE浮点表示
IEEE浮点标准用
的形式近似表示一个数。并且将浮点数的位表示划分为三个字段：
符号（sign）s决定这个数是负数（s=1）还是正数（s=0）。可以用一个单独的符号s直接编码符号s。
尾数（signficand）M是一个二进制小数，它的范围是1～2-ξ或者是0～1-ξ。
n位小数字段编码尾数M。 阶码（exponent）E的作用是对浮点数加权，这个权重是2的E次幂（可能是负数）。k位的阶码字段
编码阶码E。
在单精度浮点格式（c语言的float）中，s，exp和frac字段分别为1位，8位和23位,而双精度浮点格式（c语言中的double）中，s，exp和frac字段分别为1位，11位和52位。
一个浮点数的常见比特位表示如下:
单精度
| s（31） | exp（30~23） | frac（22~0) |
|---|
双精度
| s（53） | exp（62~52） | frac（51~0） |
|---|
而根据exp的值，被编码的值可以分为三大类不同的情况。下面进行一一解释。
情况1：规格化的值
即最普遍的情况，当exp，即阶码域既不为全0，也不为全1的情况。在这种情况下，阶码字段解释为以偏置（biased）形式表示有符号整数，即E=exp-Bias,exp是无符号数（1~254）。Bias是一个等于
frac被描述为小数值，且0≤frac<1,其二进制表示为0.frac。尾数定义为 M=1+frac ，则M=1.frac。那么就有1≤M<2,由于总是能够调整阶码E，使得M在范围1≤M<2,所以不需要显示的表示它，这样还能获得一个额外的精度位。也就是说，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的frac部分,等到读取的时候，再把第一位的1加上去。
情况2：非规格化的值
当exp，即阶码域为全0时，所表示的数便为非规格化的值，该情况下的阶码值E=1-Bias（注:为从非格式化值转换到格式化值提供了一种方法）。尾数M=frac
非规格化的数有两个作用。
表示数值0。格式化数中，我们总使得M≥1，因此就无法表示0。而阶码全0时，且尾数也全0时，就可以表示0了。
表示接近0.0的数。它所表示的值分布地接近于0.0，该属性成为逐渐溢出。
情况3：特殊值
有两种
阶码全为1，小数域全为0。它得到值为 +∞(s=0)或-∞（s=1），它在计算机中可以表示溢出的结果，例如两个非常大的数相乘。
阶码全为1，小数域不全为0。它得到值为NaN（Note a Number）。它在计算机中可以表示非法的数，例如计算根号-1时的值。
浮点数的范围和有效位
对于浮点数，其能表示的数值范围和其有效位如下
| 类型 | 比特位 | 数值范围 | 有效位 |
|---|---|---|---|
| float | 32 | -3.410^38～+3.410^38 | 6~7位 |
| double | 64 | -1.710^-308~1.710^308 | 15~16位 |
| long double | 128 | -1.210^-4932~1.210^4932 | 18~19位 |
可见同比特位数的整型（例如int）要比浮点数（例如float）能表示的数值范围要小很多，但是需要注意的，虽然浮点数能表示的范围大，但是 它却不能精确表示在其范围内的所有实数，也就是说，它只能保证有效位的值是精确的，当表示的数值（小数部分）超过有效位时，所表示的数是无法保证精确的，甚至可以说是错误的。
那么浮点数的数值范围和有效位是如何得到的呢？
浮点数的数值范围计算
有了前面了基础，我们就可以来计算浮点数的数值范围了。以单精度（float）为例，我们知道它的指数范围（即E）为-126~+127，而M的范围为1≤M<2，实际上，对于单精度，1≤M≤2-2^（-23）（注:23为frac字段所占的比特位）。那么我们就可以得到单精度的最大值为:
同理，我们可以得到单精度的最小值为：
我们仅仅以单精度为例，用同样的方法可以计算其他精度的浮点数取值范围，在此不再赘述。
浮点数的有效位
有效位也可以理解为我们常说的精度。浮点数的精度是由尾数的位数来决定的。
对于单精度（float），它的尾数为23位，而2^23=8388608，共7位，也就是说最多能有7位有效数字，但至少能保证6位，因此其有效位为6~7位。当然我们可以通过下面的内容进一步理解。以下计算结果保留10位小数。
观察a和b的结果可以发现，0.0000001和0.0000002之间的其他数是没有办法通过单精度浮点数来精确表示的，也就是说，只有到小数点后面7位的值才是精确的，同理，观察b和c的结果，0.0000002到0.0000004之间的其他数也是不能通过单精度浮点数精确表示的，更不幸地是，这之间的数，甚至只能精确到第6位。
这也就有了单精度浮点数的有效位为6~7位的结论。根据相似的方法，我们同样可以得到双精度浮点数的有效位为15~16位的结论，这里不再赘述。
浮点数在内存中的存储
了解了这么多，我们来看一下一个小数究竟是如何在内存中存储的。以float f = 8.25f为例。其二进制表示为
因此不难得到，8.25的在内存中的存储情况为：
| s | exp | frac |
|---|---|---|
| 0 | 1000 0010 | 0001 0000 0000 0000 0000 000 |
如果这个时候把这个值作为整型使用，是多少呢？没错，是1090781184
int main(int argc,char *argv[])
{
float f=8.25f;
int *i = (int*)&f;
printf("%d\n",*i);
return 0;
}
再说几句
关于浮点数，需要再说几句：
在二进制，第一个有效数字必定是“1”，因此这个“1”并不会存储。
浮点数不能精确表示其范围内的所有数。
可精确表示的数不是均匀分布的，越靠近0越稠密。
默认舍入方式为向偶舍入，也被称为最接近的值舍入。
不遵守普遍的算数属性，比如结合律。
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